Xét tính chất sau của độ đo Hausdorff.

Nếu t > s {\displaystyle t>s} và { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} là một δ {\displaystyle \delta } -phủ của F thì ∑ | U i | t ≤ δ t − s ∑ | U i | s . {\displaystyle \sum |U_{i}|^{t}\leq \delta ^{t-s}\sum {|U_{i}|^{s}}.} Do đó H δ t ( F ) ≤ δ t − s H δ s ( F ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{t}(F)\leq \delta ^{t-s}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F).} Cho δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0} , nếu H s ( F ) < ∞ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)<\infty } thì H t ( F ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{t}(F)=0} với mọi t > s {\displaystyle t>s} . Điều đó cho thấy có một giá trị s F {\displaystyle s_{F}} mà tại đó H s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)} "nhảy" từ ∞ {\displaystyle \infty } xuống 0 {\displaystyle 0} . Giá trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của F {\displaystyle F} .

Đồ thị của H s ( F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)} . Số chiều Hausdorff của F là giá trị s mà tại đó có sự nhảy từ ∞ {\displaystyle \infty } xuống 0 {\displaystyle 0} .

Định nghĩa

Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} . Số chiều Hausdorff của F, ký hiệu dim H ⁡ ( F ) {\displaystyle \dim _{H}(F)} , được định nghĩa là

dim H ⁡ ( F ) = inf { s ≥ 0 : H s ( F ) = 0 } = sup { s ≥ 0 : H s ( F ) = ∞ } . {\displaystyle \dim _{H}(F)=\inf\{s\geq 0:{\mathcal {H}}^{s}(F)=0\}=\sup\{s\geq 0:{\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty \}.}

Quy ước inf { ∅ } = ∞ {\displaystyle \inf\{\emptyset \}=\infty } .

Tính chất

1. H s ( F ) = { ∞ if   s < dim H ⁡ F 0 if   s > dim H ⁡ F {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\left\{{\begin{array}{ll}\infty &{\textrm {if}}\ s<\dim _{H}F\\0&{\textrm {if}}\ s>\dim _{H}F\end{array}}\right.}
2. Nếu E ⊂ F {\displaystyle E\subset F} thì dim H E ≤ dim H F {\displaystyle {\textrm {dim}}_{H}E\leq {\textrm {dim}}_{H}F} .
3. Nếu F 1 , F 2 , … {\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots } là một dãy những tập hợp thì dim H ⋃ i = 1 ∞ F i = sup 1 ≤ i < ∞ { dim H F i } {\displaystyle {\textrm {dim}}_{H}\bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}=\sup _{1\leq i<\infty }\{{\textrm {dim}}_{H}F_{i}\}} .

Định lý

1. Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} và f : F → R m {\displaystyle f:F\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} thỏa | f ( x ) − f ( y ) | R m ≤ c | x − y | R n α   ( x , y ∈ F ) {\displaystyle |f(x)-f(y)|_{\mathbb {R} ^{m}}\leq c|x-y|_{\mathbb {R} ^{n}}^{\alpha }\ (x,y\in F)} với c > 0 {\displaystyle c>0} và α > 0 {\displaystyle \alpha >0} thì dim H f ( F ) ≤ ( 1 / α ) dim H F {\displaystyle {\textrm {dim}}_{H}f(F)\leq (1/\alpha ){\textrm {dim}}_{H}F} .
2. Cho F ⊂ R n {\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}} . Nếu tồn tại s 0 {\displaystyle s_{0}} sao cho H s 0 ( F ) ≠ 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{s_{0}}(F)\neq 0} thì dim H ⁡ ( F ) = s 0 . {\displaystyle \dim _{H}(F)=s_{0}.}

Ví dụ

1. Số chiều Hausdorff của một điểm trong R {\displaystyle \mathbb {R} } bằng 0 {\displaystyle 0} .
2. Số chiều Hausdorff của một tập đếm được trong R {\displaystyle \mathbb {R} } bằng 0 {\displaystyle 0} .
3. Số chiều Hausdorff của đường thẳng thực R {\displaystyle \mathbb {R} } bằng 1.
4. Số chiều của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bằng n {\displaystyle n} .